यदि a, b, c धनात्मक पूर्णांक हैं,तो सारणिक De | vedclass

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Question

(B) सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \ ab & b^2 + x & bc \ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $R_1$ को $

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$x^2$

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(B) सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \ ab & b^2 + x & bc \ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से,और $R_3$ को $c$ से गुणा करते हैं और सारणिक को $abc$ से विभाजित करते हैं: $\Delta = \frac{1}{abc} \begin{vmatrix} a(a^2 + x) & a^2b & a^2c \ ab^2 & b(b^2 + x) & b^2c \ ac^2 & bc^2 & c(c^2 + x) \end{vmatrix}$ क्रमशः $C_1, C_2, C_3$ से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर: $\Delta = \frac{abc}{abc} \begin{vmatrix} a^2 + x & a^2 & a^2 \ b^2 & b^2 + x & b^2 \ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a^2 + x & a^2 & a^2 \ b^2 & b^2 + x & b^2 \ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$ $R_1 	o R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर: $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + b^2 + c^2 + x & a^2 + b^2 + c^2 + x & a^2 + b^2 + c^2 + x \ b^2 & b^2 + x & b^2 \ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$ $R_1$ से $(a^2 + b^2 + c^2 + x)$ उभयनिष्ठ लेने पर: $\Delta = (a^2 + b^2 + c^2 + x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ b^2 & b^2 + x & b^2 \ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$ $C_2 	o C_2 - C_1$ और $C_3 	o C_3 - C_1$ संक्रिया लागू करने पर: $\Delta = (a^2 + b^2 + c^2 + x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ b^2 & x & 0 \ c^2 & 0 & x \end{vmatrix} = (a^2 + b^2 + c^2 + x)(x^2)$ अतः,$\Delta$,$x^2$ से विभाज्य है।

यदि $a, b, c$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \\ ab & b^2 + x & bc \\ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ किससे विभाज्य है?

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$\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)$

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