यदि {A_1}, {B_1}, {C_1}, dots क्रमशः सारणिक D | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि एक सारणिक $\Delta$ में अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $A_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है।दिए गए सारणिक $\Delta$ के लिए,सहखंड इस प्रकार हैं:$B

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${a_1}\Delta $

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(A) हम जानते हैं कि एक सारणिक $\Delta$ में अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $A_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है।दिए गए सारणिक $\Delta$ के लिए,सहखंड इस प्रकार हैं:$B_2 = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \ a_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 c_3 - a_3 c_1$$C_2 = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = -(a_1 b_3 - a_3 b_1)$$B_3 = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = -(a_1 c_2 - a_2 c_1)$$C_3 = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$अब,सारणिक $D = \begin{vmatrix} B_2 & C_2 \ B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ पर विचार करें।एडजॉइंट मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी $3 	imes 3$ मैट्रिक्स $M$ के लिए,सहखंड मैट्रिक्स का सारणिक $\Delta^{n-1}$ होता है,जहाँ $n=3$ है। अतः,सहखंड मैट्रिक्स के $2 	imes 2$ माइनर का सारणिक $a_1 \Delta$ होता है।मान रखने पर:$D = (a_1 c_3 - a_3 c_1)(a_1 b_2 - a_2 b_1) - (-(a_1 b_3 - a_3 b_1))(-(a_1 c_2 - a_2 c_1))$इस व्यंजक का विस्तार करने पर यह $a_1(a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 - b_1 a_2 c_3 + b_1 a_3 c_2 + c_1 a_2 b_3 - c_1 a_3 b_2) = a_1 \Delta$ में सरल हो जाता है।अतः,सही विकल्प $A$ है।

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