જો $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$ હોય,તો સાચો સંબંધ કયો છે?

જો $A$ એ ઇન્વોલ્યુટરી (involutory) શ્રેણિક હોય અને $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક હોય,તો $(I - A)(I + A)$ શું થાય?

બે ખેડૂતો,રામકિશન અને ગુરચરણ સિંહ,માત્ર ત્રણ પ્રકારના ચોખા ઉગાડે છે: બાસમતી,પરમલ અને નૌરા. સપ્ટેમ્બર અને ઓક્ટોબર મહિનામાં બંને ખેડૂતો દ્વારા આ ચોખાના વેચાણ (રૂપિયામાં) નીચે મુજબના શ્રેણિકો $A$ અને $B$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે.
સપ્ટેમ્બરનું વેચાણ (રૂપિયામાં)
$A = \begin{bmatrix} \text{બાસમતી} & \text{પરમલ} & \text{નૌરા} \\ 10,000 & 20,000 & 30,000 \\ 50,000 & 30,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{રામકિશન} \\ \text{ગુરચરણ સિંહ} \end{matrix}$
ઓક્ટોબરનું વેચાણ (રૂપિયામાં)
$B = \begin{bmatrix} \text{બાસમતી} & \text{પરમલ} & \text{નૌરા} \\ 5,000 & 10,000 & 6,000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{રામકિશન} \\ \text{ગુરચરણ સિંહ} \end{matrix}$
$(i)$ દરેક ખેડૂત માટે દરેક પ્રકારના ચોખાનું સપ્ટેમ્બર અને ઓક્ટોબરનું કુલ વેચાણ શોધો.
$(ii)$ સપ્ટેમ્બરથી ઓક્ટોબર સુધીના વેચાણમાં થયેલો ઘટાડો શોધો.
$(iii)$ જો બંને ખેડૂતોને કુલ વેચાણ પર $2\%$ નફો મળતો હોય,તો ઓક્ટોબરમાં દરેક ખેડૂત અને દરેક પ્રકારના ચોખા માટે નફો ગણો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. $AB$ શોધો.

જો $P = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$ અને $X = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ હોય, તો $P^3 X$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A^n = 2^k A$,જ્યાં $k = $