यदि $3X + 2Y = I$ और $2X - Y = O$ है,जहाँ $I$ और $O$ क्रमशः $3$ कोटि के इकाई और शून्य आव्यूह हैं,तो

$a$ का वह धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समघात समीकरण निकाय $x+ay+z=0$, $ax+2y-z=0$, और $2x+3y+z=0$ के अशून्य हल हों।

मान लीजिए कि $(x, y, z)$ पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु हैं जो समघात समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:
$3x - y - z = 0$,$-3x + z = 0$,$-3x + 2y + z = 0$.
तो ऐसे बिंदुओं की संख्या क्या है जिनके लिए $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ है?

समीकरणों की प्रणाली $kx + 2y - z = 1$,$(k - 1)y - 2z = 2$,और $(k + 2)z = 3$ का एक अद्वितीय हल है,यदि $k$ का मान है:

कथन $-1$: रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में स्थित $\alpha$ के केवल एक मान के लिए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है।
कथन $-2$: $\alpha$ में समीकरण
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में केवल एक हल है।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें: $2x - y = -2$ और $3x + 4y = 3$.