यदि P(n): " 2^{2n}-1 सभी n in N के लिए k से व | vedclass

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Question

(B) दिया गया कथन $P(n):$ " $2^{2n}-1$ सभी $n \in N$ के लिए $k$ से विभाज्य है ".हम $2^{2n}-1$ को $(2^2)^n - 1 = 4^n - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।द्विपद

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$3$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया कथन $P(n):$ " $2^{2n}-1$ सभी $n \in N$ के लिए $k$ से विभाज्य है ".हम $2^{2n}-1$ को $(2^2)^n - 1 = 4^n - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$4^n - 1 = (3+1)^n - 1$.$(3+1)^n$ का प्रसार करने पर: $(3+1)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2}(3^2) + \dots + 3^n$.अतः,$4^n - 1 = (1 + 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n) - 1 = 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n$.यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $3$ से विभाज्य है।अतः,$k$ का मान $3$ है।

यदि $P(n):$ " $2^{2n}-1$ सभी $n \in N$ के लिए $k$ से विभाज्य है " सत्य है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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