दर्शाइए कि $9^{n+1}-8n-9$ संख्या $64$ से विभाज्य है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

यह दर्शाने के लिए कि $9^{n+1}-8n-9$ संख्या $64$ से विभाज्य है,हमें यह सिद्ध करना होगा कि $9^{n+1}-8n-9 = 64k$,जहाँ $k$ एक प्राकृत संख्या है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार:
$(1+a)^{m} = \sum_{r=0}^{m} {^{m}C_{r}} a^{r} = {^{m}C_{0}} + {^{m}C_{1}}a + {^{m}C_{2}}a^{2} + \dots + {^{m}C_{m}}a^{m}$
$a=8$ और $m=n+1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1+8)^{n+1} = {^{n+1}C_{0}} + {^{n+1}C_{1}}(8) + {^{n+1}C_{2}}(8^{2}) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n+1})$
$9^{n+1} = 1 + (n+1)(8) + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 1 + 8n + 8 + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 9 + 8n + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} - 8n - 9 = 64k$,जहाँ $k = {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1})$ एक प्राकृत संख्या है।
अतः,$9^{n+1}-8n-9$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $64$ से विभाज्य है।