દર્શાવો કે જ્યારે $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $9^{n+1}-8n-9$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે.

$9^{n+1}-8n-9$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે $9^{n+1}-8n-9 = 64k$,જ્યાં $k$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ:
$(1+a)^{m} = \sum_{r=0}^{m} {^{m}C_{r}} a^{r} = {^{m}C_{0}} + {^{m}C_{1}}a + {^{m}C_{2}}a^{2} + \dots + {^{m}C_{m}}a^{m}$
$a=8$ અને $m=n+1$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(1+8)^{n+1} = {^{n+1}C_{0}} + {^{n+1}C_{1}}(8) + {^{n+1}C_{2}}(8^{2}) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n+1})$
$9^{n+1} = 1 + (n+1)(8) + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 1 + 8n + 8 + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 9 + 8n + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} - 8n - 9 = 64k$,જ્યાં $k = {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1})$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
આમ,જ્યારે $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $9^{n+1}-8n-9$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે.