यदि $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ और $(x_{3}, y_{3})$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसका क्षेत्रफल $k$ वर्ग इकाई है,तो $\left|\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & 4 \\ x_{2} & y_{2} & 4 \\ x_{3} & y_{3} & 4\end{array}\right|^{2}$ का मान क्या है ($k^{2}$ में)?

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ के वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b, c \in R$ और $a, b \neq 0$ है। यदि $u, v, w$ में समीकरणों की प्रणाली $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,और $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल $x = cy + bz, y = az + cx, z = bx + ay$ एक रेखा से गुजरते हैं,यदि

माना $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 7 & 11 \\ 5 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ है। तब

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right| = k(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab)$ है,तो $k =$

यदि $\left|\begin{array}{cc}x^3+2 x^2+3 x-2 & x^2+2 x+4 \\ x^3-x^2-2 x-1 & 3 x^3-2 x^2+4 x-2\end{array}\right| = a x^6+b x^5+c x^4+d x^3+e x^2+f x+g$ है,तो $a+b+c+d+e+f$ का मान ज्ञात कीजिए।