यदि $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$ है,तो $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x \in [0, 1]$ है,तो समीकरण $2[\cos^{-1}x] + 6[\text{sgn}(\sin x)] = 3$ के हलों की संख्या क्या है? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $\text{sgn}(x)$ $x$ के चिह्न फलन को दर्शाता है)-

यदि $\alpha=3 \sin ^{-1} \frac{6}{11}$ और $\beta=3 \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ है,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं,तो गलत विकल्प है

मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,तो $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

योगफल $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\cot }^{ - 1}} \left( {\frac{{2\left( {\sum\limits_{k = 1}^n k } \right) - 1}}{3}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha, \beta, \gamma \neq 0$ है और $\sin ^{-1} \alpha+\sin ^{-1} \beta+\sin ^{-1} \gamma=\pi$ तथा $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\gamma+\beta)=3 \alpha \beta$ है,तो $\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।