यदि $x \in [0, 1]$ है,तो समीकरण $2[\cos^{-1}x] + 6[\text{sgn}(\sin x)] = 3$ के हलों की संख्या क्या है? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $\text{sgn}(x)$ $x$ के चिह्न फलन को दर्शाता है)-

माना $x = \sin(2 \tan^{-1} \alpha)$ और $y = \sin(\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{4}{3})$ है। यदि $S = \{\alpha \in R : y^2 = 1 - x\}$ है,तो $\sum_{\alpha \in S} 16 \alpha^3$ का मान $...........$ है।

माना $k \in R$ के लिए,समीकरण $\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k$,जहाँ $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$,के हल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं। यदि समीकरण $x^{2}- bx -5=0$ के हल $\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$ और $\frac{\alpha}{\beta}$ हैं,तो $\frac{b}{k^{2}}$ का मान $......$ है।

यदि $\sinh (2 \tanh ^{-1} x) = \frac{11}{60}$ है,तो $x =$

त्रिकोणमितीय समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के संभावित मान क्या हैं?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}$ का मान .......... है।