यदि alpha, beta, gamma neq 0 है और sin ^{-1} | vedclass

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Question

(A) माना $\sin ^{-1} \alpha = A, \sin ^{-1} \beta = B, \sin ^{-1} \gamma = C$ है। अतः $A+B+C = \pi$,जिसका अर्थ है $\sin A = \alpha, \sin B = \beta, \s

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$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $\sin ^{-1} \alpha = A, \sin ^{-1} \beta = B, \sin ^{-1} \gamma = C$ है। अतः $A+B+C = \pi$,जिसका अर्थ है $\sin A = \alpha, \sin B = \beta, \sin C = \gamma$। दिया गया समीकरण $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) = 3\alpha\beta$ है। इसे $(\alpha+\beta)^2 - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका विस्तार करने पर,हमें $\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 = \alpha\beta$ हो जाता है। $2\alpha\beta$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ है। चूंकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए $C = \frac{\pi}{3}$ है। अतः,$\gamma = \sin C = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

यदि $\alpha, \beta, \gamma \neq 0$ है और $\sin ^{-1} \alpha+\sin ^{-1} \beta+\sin ^{-1} \gamma=\pi$ तथा $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\gamma+\beta)=3 \alpha \beta$ है,तो $\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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