यदि $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$ को $(x - 1)$ और $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्रमशः $5$ और $19$ प्राप्त होते हैं। यदि $f(x)$ को $(x - 2)$ से विभाजित किया जाए,तो शेषफल क्या होगा?

कथन $1$ : यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $p$ और $q$ अवयव हैं,जहाँ $q > p$ है। तो समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक फलनों की कुल संख्या $q^p$ है।
कथन $2$ : $q$ वस्तुओं में से $p$ भिन्न वस्तुओं के चयन की कुल संख्या ${}^qC_p$ है।

निम्नलिखित में से कौन से संबंध फलन हैं? कारण बताइए। यदि यह एक फलन है,तो इसका प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
$\{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$

फलन $t$ जो सेल्सियस में तापमान को फारेनहाइट में तापमान में परिवर्तित करता है,$t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ द्वारा परिभाषित है। $t(0)$ ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित संबंध की जाँच करें और कारण बताते हुए स्पष्ट करें कि क्या यह एक फलन है या नहीं: $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$

मान लीजिए $f(x)$ पूर्णांक गुणांकों वाला एक बहुपद है जो $f(1)=5$ और $f(2)=7$ को संतुष्ट करता है। $f(12)$ का सबसे छोटा संभव धनात्मक मान है