यदि z=cos 6^{circ}+i sin 6^{circ} है,तो sum_{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.हमें $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left(

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$\frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$

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(D) दिया गया है $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.हमें $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left( \sum_{n=1}^{20} z^{2n-1} ight)$ ज्ञात करना है।यह योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = z + z^3 + z^5 + \dots + z^{39}$.यहाँ,प्रथम पद $a = z$ और सार्व अनुपात $r = z^2 = e^{i 12^{\circ}}$ है।$20$ पदों का योग $S = z \frac{(z^2)^{20} - 1}{z^2 - 1} = z \frac{z^{40} - 1}{z^2 - 1}$ है।$z = e^{i 6^{\circ}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 240^{\circ}} - 1}{e^{i 12^{\circ}} - 1}$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $e^{i 	heta} - 1 = e^{i 	heta/2} (2i \sin(	heta/2))$ का उपयोग करने पर:$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 120^{\circ}} (2i \sin 120^{\circ})}{e^{i 6^{\circ}} (2i \sin 6^{\circ})} = e^{i 120^{\circ}} \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}}$.$S = (\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}) \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}} = \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} ight) \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 6^{\circ}}$.$S = -\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 6^{\circ}} + i \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.काल्पनिक भाग लेने पर,$\operatorname{Im}(S) = \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.

यदि $z=\cos 6^{\circ}+i \sin 6^{\circ}$ है,तो $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}\left(z^{2 n-1}\right)=$

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