यदि cos alpha+4 cos beta+9 cos gamma=0 और sin | vedclass

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Question

(A) दिया गया है: $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ और $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$. माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$

Vedclass · Accepted Answer

$1+8 \cos (\beta-\alpha)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है: $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ और $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$. माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,$z_3 = e^{i\gamma}$. समीकरणों को $z_1 + 4z_2 + 9z_3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$4z_2 = -(z_1 + 9z_3)$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16|z_2|^2 = |z_1 + 9z_3|^2 = |z_1|^2 + 81|z_3|^2 + 18 	ext{Re}(z_1 \bar{z_3})$. चूंकि $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$,हमारे पास $16 = 1 + 81 + 18 \cos(\alpha - \gamma)$ $\Rightarrow 18 \cos(\alpha - \gamma) = -66$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \gamma) = -\frac{11}{3}$ है। इसी प्रकार,$9z_3 = -(z_1 + 4z_2)$ $\Rightarrow 81 = 1 + 16 + 8 \cos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow 8 \cos(\alpha - \beta) = 64$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \beta) = 8$ है। अब,$81 \cos(2\gamma - 2\alpha) = 81(2 \cos^2(\gamma - \alpha) - 1) = 81(2(-\frac{11}{3})^2 - 1) = 2097$ है। और $16 \cos(2\beta - 2\alpha) = 16(2 \cos^2(\beta - \alpha) - 1) = 16(2(8)^2 - 1) = 2032$ है। अतः,$2097 - 2032 = 65$ है। विकल्पों की जांच करने पर: $1 + 8 \cos(\beta - \alpha) = 1 + 8(8) = 65$ है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

यदि $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ और $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$ है,तो $81 \cos (2 \gamma-2 \alpha)-16 \cos (2 \beta-2 \alpha)=$

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