यदि Q,वृत्त x^2+y^2-2x-2y+1=0 के सापेक्ष बिंद | vedclass

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Question

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है,जिसे $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $O(1, 1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।माना $Q$,$P(2, 3)

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$5x^2+5y^2-16x-22y+33=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है,जिसे $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $O(1, 1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।माना $Q$,$P(2, 3)$ का प्रतिलोम बिंदु है। प्रतिलोम बिंदु $Q$,रेखा $OP$ पर स्थित होता है ताकि $OP 	imes OQ = r^2$ हो।$OP$ की ढाल $\frac{3-1}{2-1} = 2$ है। रेखा $OP$ का समीकरण $y-1 = 2(x-1)$ है,जो $2x-y-1=0$ में सरल हो जाता है।$OP = \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।चूंकि $OP 	imes OQ = r^2 = 1$,इसलिए $OQ = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।माना $Q$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। चूंकि $Q$,$2x-y-1=0$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h-1$ है। साथ ही,दूरी $OQ = \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।$k-1 = 2h-2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{(h-1)^2+(2h-2)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \sqrt{5(h-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow 5(h-1)^2 = 1$ $\Rightarrow (h-1)^2 = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।$h-1 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow h = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।$h = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}$ के लिए,$k = 2(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}) - 1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।अतः $Q = (1 + \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$ है।$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-2)(x-(1+\frac{1}{\sqrt{5}})) + (y-3)(y-(1+\frac{2}{\sqrt{5}})) = 0$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $5x^2+5y^2-16x-22y+33=0$ प्राप्त होता है।

यदि $Q$,वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2, 3)$ का प्रतिलोम बिंदु है,तो $PQ$ को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त है

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