यदि P(alpha, beta) वृत्तों S equiv x^2+y^2+4x | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले,वृत्तों के समीकरणों को $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में मानकीकृत करते हैं: $S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$ $S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}

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$2$

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(D) सबसे पहले,वृत्तों के समीकरणों को $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में मानकीकृत करते हैं: $S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$ $S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$ $S^{\prime \prime} \equiv x^2+y^2+y=0$ $S$ और $S^{\prime \prime}$ की रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime \prime}=0$ है,जो $4x-y+7=0$ देती है (समीकरण $1$)। $S^{\prime \prime}$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष $S^{\prime \prime}-S^{\prime}=0$ है,जो $-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}=0$ या $x+y+3=0$ देती है (समीकरण $2$)। $4x-y+7=0$ और $x+y+3=0$ को हल करने पर: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5x+10=0 \implies x=-2$। $x=-2$ को $x+y+3=0$ में रखने पर: $-2+y+3=0 \implies y=-1$। अतः,रेडिकल केंद्र $P$ $(-2, -1)$ है। $P(\alpha, \beta)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{\alpha^2+\beta^2+2g\alpha+2f\beta+c}$ होती है। $S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$ के लिए,लंबाई $\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+\frac{3}{2}(-2)+\frac{5}{2}(-1)+\frac{9}{2}} = \sqrt{4+1-3-2.5+4.5} = \sqrt{4} = 2$।

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उस वृत्त की न्यूनतम त्रिज्या ज्ञात कीजिए जो $x^2+y^2+4x+3=0$ और $x^2+y^2-12x+35=0$ दोनों वृत्तों के लंबकोणीय (orthogonal) है।

सीमित बिंदुओं $(1, 2)$ और $(-2, 1)$ वाले वृत्तों के सह-अक्षीय निकाय की मूल अक्ष (radical axis) क्या है?

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$(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 = 1$ को स्पर्श करने वाले सबसे बड़े और सबसे छोटे वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

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