यदि वृत्तों x^2+y^2-2x+2y+1=0 और x^2+y^2+2x-2 | vedclass

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Question

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ हैं। पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2-1}

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$k$ एक अपरिमेय संख्या है

Vedclass · Answer

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ हैं। पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2-1} = 1$ है। दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-k} = \sqrt{2-k}$ है। केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है। वृत्तों के बीच का कोण $	heta$,$\cos 	heta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $	heta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ है। मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1^2 + (\sqrt{2-k})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2(1)(\sqrt{2-k})} = \frac{1 + 2 - k - 8}{2\sqrt{2-k}} = \frac{-5-k}{2\sqrt{2-k}}$। अतः,$\sqrt{2-k} = -5-k$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2-k = (-5-k)^2 = 25 + k^2 + 10k$। $k^2 + 11k + 23 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$k = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4(23)}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 92}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{29}}{2}$। चूंकि $\sqrt{29}$ अपरिमेय है,इसलिए $k$ एक अपरिमेय संख्या है।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो

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