यदि $n > 2023$ के लिए $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2)$ है,तो $n = 2024$ होने पर ${}^{N}C_{N-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक कमरे में हर व्यक्ति दूसरे हर व्यक्ति के साथ हाथ मिलाता है। हाथ मिलाने की कुल संख्या $45$ है। तो कमरे में कुल व्यक्तियों की संख्या है

एक प्रश्न पत्र दो भागों,$A$ और $B$ में विभाजित है,जिनमें से प्रत्येक में $5$ प्रश्न हैं। यदि किसी उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्नों का चयन करना है,तो वह कितने तरीकों से चयन कर सकता है यदि उसे प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न चुनने हों?

$10$ सदस्यों में से $6$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है,जिसमें हमेशा एक विशिष्ट सदस्य शामिल हो?

$^{14}C_4 + \sum_{j=1}^{4} {^{18-j}C_3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$5$ अलग-अलग हरे गेंदों,$4$ अलग-अलग नीली गेंदों और $3$ अलग-अलग लाल गेंदों से कितने समूह बनाए जा सकते हैं,यदि कम से कम $1$ हरी और $1$ नीली गेंद शामिल होनी चाहिए?