यदि $c$ एक वास्तविक संख्या है और $\frac{x^2}{c-12}+\frac{y^2}{7-c}=1$ एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है,तो

यदि $e_{1}$ और $e_{2}$ क्रमशः वक्रों $16x^{2}-9y^{2}=144$ और $9x^{2}-16y^{2}=144$ की उत्केंद्रता (eccentricity) को दर्शाते हैं,तो $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ का अनुप्रस्थ अक्ष $X$-अक्ष के समानांतर है और $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ $H$ के सहायक वृत्त का समीकरण है। यदि $H$ के अनंतस्पर्शी समकोण पर हैं,तो अतिपरवलय का समीकरण क्या है?

शांकव $x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ के बिंदु $(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ $(0, \pm 12)$ हैं और नाभिलंब की लंबाई $36$ है।

मान लीजिए कि फलन $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ का प्रांत $(m, n)$ अंतराल है। मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की उत्केंद्रता $\frac{n}{3}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{8m}{3}$ है। तो $b^{2} - a^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए: