यदि A,n कोटि का एक शून्येतर वर्ग आव्यूह है जह | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\operatorname{det}(I+A) 
eq 0$,जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।हमें $A^3 = O$ दिया गया है।हम बीजगणितीय सर्वसम

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$I-A+A^2$

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(A) दिया गया है कि $\operatorname{det}(I+A) 
eq 0$,जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।हमें $A^3 = O$ दिया गया है।हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।$x=A$ और $y=I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - AI + I^2)$.चूँकि $I^3 = I$ और $A^3 = O$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:$O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$.$I = (A+I)(A^2 - A + I)$.चूँकि $(A+I)$ व्युत्क्रमणीय है,हम दोनों पक्षों को बाईं ओर से $(A+I)^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:$(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$.$(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I)$.$(A+I)^{-1} = I - A + A^2$.

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