यदि $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$ और $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $m < n$,तो $(m^n + n^m)^{m+n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(I)$ यदि $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(\tan ^{-1} x\right)\right)\right)$ है, तो $f(0) = \frac{1}{2}$ है।
$(II)$ $\sin \left(4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} - \tan ^{-1} \frac{1}{239}\right) = 1$ है।
तो निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

समीकरण $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ के

$50 \tan \left(3 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)+4 \sqrt{2} \tan \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 \sqrt{2})\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17}+\cos ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{77}{36}=0$ और $0 < \alpha < 13$ है,तो $\sin ^{-1}(\sin \alpha)+\cos ^{-1}(\cos \alpha)$ का मान $.........$ है।

माना $f(x) = \cot \left( \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3 + \cos 2x}} \right)$ है। तो $f'\left( \frac{2\pi}{3} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।