समीकरण cos ^{-1}(1-x)-2 cos ^{-1} x=frac{pi}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.मान लीजिए $\cos ^{-1} x = 	heta$,तो $x = \cos 	heta$,जहाँ $	heta \in [0, \pi]$.

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केवल एक हल है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.मान लीजिए $\cos ^{-1} x = 	heta$,तो $x = \cos 	heta$,जहाँ $	heta \in [0, \pi]$.समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\cos ^{-1}(1-\cos 	heta) - 2	heta = \frac{\pi}{2}$.$\cos ^{-1}(1-\cos 	heta) = \frac{\pi}{2} + 2	heta$.दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:$1-\cos 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} + 2	heta) = -\sin(2	heta)$.$1-\cos 	heta = -2\sin 	heta \cos 	heta$.$1 - (1-2\sin^2(\frac{	heta}{2})) = -2(2\sin(\frac{	heta}{2})\cos(\frac{	heta}{2}))\cos 	heta$.$2\sin^2(\frac{	heta}{2}) = -4\sin(\frac{	heta}{2})\cos(\frac{	heta}{2})\cos 	heta$.स्थिति $1$: $\sin(\frac{	heta}{2}) = 0 \implies 	heta = 0 \implies x = \cos 0 = 1$.$x=1$ की जाँच करने पर: $\cos ^{-1}(0) - 2\cos ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।स्थिति $2$: $\sin(\frac{	heta}{2}) = -2\cos(\frac{	heta}{2})\cos 	heta$.$	an(\frac{	heta}{2}) = -2\cos 	heta$. चूँकि $	heta \in [0, \pi]$,$	an(\frac{	heta}{2}) \ge 0$ और $-2\cos 	heta$ ऋणात्मक हो सकता है। $	heta \in [0, \pi/2]$ के लिए,$\cos 	heta \ge 0$,इसलिए $-2\cos 	heta \le 0$. केवल $	heta=0$ पर ही प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है (जो पहले ही मिल चुका है)।अतः,केवल एक ही हल है।

समीकरण $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ के

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