यदि f: A rightarrow B और g: B rightarrow C दो | vedclass

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Question

(B) दिया गया है: $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$. साथ ही,$g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है। सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $f$

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$f$ एकैकी फलन है और $g$ आच्छादक फलन है

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(B) दिया गया है: $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$. साथ ही,$g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है। सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $f$ एकैकी (injection) है: मान लीजिए $x_1, x_2 \in A$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$. तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जिसका अर्थ है $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$. चूंकि $g \circ f$ एक बाइजेक्शन है,यह एकैकी है,इसलिए $x_1 = x_2$. अतः,$f$ एक एकैकी फलन है। अब,हम सिद्ध करते हैं कि $g$ आच्छादक (surjection) है: मान लीजिए $z \in C$. चूंकि $g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है,यह आच्छादक है। इसलिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$. इसका अर्थ है $g(f(x)) = z$. चूंकि $f(x) \in B$,मान लीजिए $y = f(x)$. तो किसी $y \in B$ के लिए $g(y) = z$. अतः,$g$ एक आच्छादक फलन है। इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है।

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