यदि f: R rightarrow R को f(x) = begin{cases} | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए। $1$. $x = 0$

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$b = 2 \log |a|$

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए। $1$. $x = 0$ पर बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} (a^2 \cos^2 h + b^2 \sin^2 h) = a^2(1)^2 + b^2(0)^2 = a^2$. $2$. $x = 0$ पर दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} e^{a(h)+b} = e^b$. $3$. $x = 0$ पर फलन का मान: $f(0) = a^2 \cos^2(0) + b^2 \sin^2(0) = a^2$. चूंकि फलन सतत है,$LHL = RHL = f(0)$,इसलिए: $a^2 = e^b$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(a^2) = \ln(e^b)$ $2 \ln |a| = b$ अतः,$b = 2 \log |a|$.

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{यदि } |2x - 3| \geq 2 \\ 3x + 2 & \text{यदि } \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \end{cases}$ अपने प्रांत पर सतत है,तो $a + b$ का मान क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर असंतत (discontinuous) है?

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ किस समुच्चय पर सतत है?

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