यदि y = operatorname{Sin}^{-1}left(frac{4+5 s | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$.माना $f(x) = \frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}$.$\frac{dy}{dx}$ ज्

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$\frac{\pm 3}{5+4 \sin x}$

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(C) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$.माना $f(x) = \frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}$.$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} \cdot f'(x)$.सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करें:$u = 4+5 \sin x \implies u' = 5 \cos x$$v = 5+4 \sin x \implies v' = 4 \cos x$$f'(x) = \frac{(5 \cos x)(5+4 \sin x) - (4+5 \sin x)(4 \cos x)}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2}$.अब,$1 - [f(x)]^2 = \frac{9 \cos^2 x}{(5+4 \sin x)^2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\sqrt{1 - [f(x)]^2} = \frac{3 |\cos x|}{5+4 \sin x}$.मान रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{5+4 \sin x}{3 |\cos x|} \cdot \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{3 \cos x}{|\cos x| (5+4 \sin x)}$.इस प्रकार,$\cos x > 0$ के लिए $\frac{3}{5+4 \sin x}$ और $\cos x < 0$ के लिए $\frac{-3}{5+4 \sin x}$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{\pm 3}{5+4 \sin x}$ है।

यदि $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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