यदि int sqrt{x}(1-x^3)^{-frac{1}{2}} dx = fra | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \sqrt{x}(1-x^3)^{-\frac{1}{2}} dx$ है। $t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$,जिसका अर्थ

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$f(x)=x^{\frac{3}{2}}, g(x)=\sin^{-1} x$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \sqrt{x}(1-x^3)^{-\frac{1}{2}} dx$ है। $t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x} dx = \frac{2}{3} dt$ है। चूंकि $x^3 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = t^2$ है,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int (1-t^2)^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{2}{3} dt\right) = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$। समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है। $t = x^{\frac{3}{2}}$ वापस रखने पर,$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(x^{\frac{3}{2}}) + c$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $\frac{2}{3} g(f(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ और $g(x) = \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \sqrt{x}(1-x^3)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} g(f(x)) + c$ है,तो

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