यदि int frac{e^{sqrt{x}}}{sqrt{x}} (x + sqrt{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) dx$. $\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,जिसका अर्थ है $

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$2$

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(B) माना $I = \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) dx$. $\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^t (t^2 + t) (2 dt) = 2 \int (t^2 + t) e^t dt$. खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u v' dt = uv - \int u' v dt$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t^2 + t$ और $v' = e^t$ है। तो $u' = 2t + 1$ और $v = e^t$ होगा। $I = 2 [(t^2 + t) e^t - \int (2t + 1) e^t dt]$. अब,$\int (2t + 1) e^t dt$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर: $u = 2t + 1$ और $v' = e^t$ लेने पर,$u' = 2$ और $v = e^t$ होगा। $\int (2t + 1) e^t dt = (2t + 1) e^t - \int 2 e^t dt = (2t + 1) e^t - 2 e^t = (2t - 1) e^t$. इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर: $I = 2 [ (t^2 + t) e^t - (2t - 1) e^t ] + K = 2 e^t [ t^2 + t - 2t + 1 ] + K = 2 e^t [ t^2 - t + 1 ] + K$. चूँकि $t = \sqrt{x}$ है,इसलिए $I = e^{\sqrt{x}} [ 2x - 2\sqrt{x} + 2 ] + K$. इसकी तुलना $e^{\sqrt{x}} [ Ax + B\sqrt{x} + C ] + K$ से करने पर,हमें $A = 2$,$B = -2$,और $C = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$A + B + C = 2 - 2 + 2 = 2$.

यदि $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) dx = e^{\sqrt{x}} [Ax + B \sqrt{x} + C] + K$ है,तो $A + B + C = $

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