यदि int frac{5 tan x}{tan x-2} d x = alpha x | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{5 	an x}{	an x - 2} dx = \int \frac{5 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$ दिया गया है। माना $5 \sin x = \alpha(\sin x - 2

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$-1$

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(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{5 	an x}{	an x - 2} dx = \int \frac{5 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$ दिया गया है। माना $5 \sin x = \alpha(\sin x - 2 \cos x) + \beta \frac{d}{dx}(\sin x - 2 \cos x)$। $5 \sin x = \alpha(\sin x - 2 \cos x) + \beta(\cos x + 2 \sin x)$। $\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $\sin x$ के लिए: $5 = \alpha + 2\beta$ $(i)$ $\cos x$ के लिए: $0 = -2\alpha + \beta \implies \beta = 2\alpha$ (ii) (ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $5 = \alpha + 2(2\alpha) = 5\alpha \implies \alpha = 1$। अतः $\beta = 2(1) = 2$। इस प्रकार,$5 \sin x = 1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)$। इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)}{\sin x - 2 \cos x} dx$ $I = \int 1 dx + 2 \int \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$ $I = x + 2 \log |\sin x - 2 \cos x| + \gamma$। इसे दिए गए रूप $\alpha x + \beta \log |\sin x - 2 \cos x| + \gamma$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha - \beta = 1 - 2 = -1$।

यदि $\int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} d x = \alpha x + \beta \log |\sin x - 2 \cos x| + \gamma$ है,तो $\alpha - \beta =$

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