यदि int_0^{2024 pi} frac{2023^{sin ^2 x}}{202 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है। चूंकि समाकल्य का आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं

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$2025$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है। चूंकि समाकल्य का आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $I = 2024 \int_0^{\pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$। गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करते हुए (यदि $f(2a-x) = f(x)$ है),हमें प्राप्त होता है $I = 2024 	imes 2 \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$। माना $J = \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $J = \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\cos ^2 x}}{2023^{\cos ^2 x}+2023^{\sin ^2 x}} d x$। $J$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$2J = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$,अतः $J = \frac{\pi}{4}$। इस प्रकार,$I = 2024 	imes 2 	imes \frac{\pi}{4} = 1012 \pi$। दिया गया है $k = I = 1012 \pi$,इसलिए $\frac{2k}{\pi} + 1 = \frac{2(1012 \pi)}{\pi} + 1 = 2024 + 1 = 2025$।

यदि $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ है,तो $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

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