यदि y=y(x) अवकल समीकरण left(frac{2+sin x}{y+1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{d y}{y+1} = -\frac{\cos x}{2

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$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{d y}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} d x$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{d y}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} d x$। माना $2+\sin x = t$,तो $\cos x dx = dt$। अतः,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$। इसे सरल करने पर $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,या $(y+1)(2+\sin x) = C'$ प्राप्त होता है। $y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = C' \Rightarrow 2(2) = C' \Rightarrow C'=4$। अतः,समीकरण $(y+1)(2+\sin x) = 4$ है। $x=\frac{\pi}{2}$ पर,$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin \frac{\pi}{2}) = 4$। $(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$। $3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4 \Rightarrow y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$। $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ का हल है और $y(0)=1$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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