જો $5$ પત્રોને $5$ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓમાં મૂકવાના હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક પત્ર ખોટા સરનામાંવાળા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના કેટલી?

એક સંગીત વર્ગમાં પાંચ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2, S_3, S_4$ અને $S_5$ છે અને તેમના માટે હારમાં પાંચ બેઠકો $R_1, R_2, R_3, R_4$ અને $R_5$ ગોઠવેલી છે,જ્યાં શરૂઆતમાં બેઠક $R_i$ વિદ્યાર્થી $S_i$ ને ફાળવવામાં આવી છે,$i = 1, 2, 3, 4, 5$. પરંતુ,પરીક્ષાના દિવસે,પાંચ વિદ્યાર્થીઓને યાદચ્છિક રીતે પાંચ બેઠકો ફાળવવામાં આવે છે.
$(1)$ પરીક્ષાના દિવસે,વિદ્યાર્થી $S_1$ ને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને પણ તેમને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક ન મળે તેની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ માટે,ધારો કે $T_i$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ $S_i$ અને $S_{i+1}$ પરીક્ષાના દિવસે એકબીજાની બાજુમાં બેસતા નથી. તો,ઘટના $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ ની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$

$52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ત્રણ પત્રો અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને મોકલવાના છે અને ત્રણ પરબિડીયાઓ પર સરનામાં પણ લખેલા છે. સરનામાં જોયા વગર,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના કેટલી છે?

$5$ ક્રમનો એક ચોરસ શ્રેણિક ધ્યાનમાં લો કે જેથી $i + j = 6$ હોય તેવા તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} = 0$ થાય,જ્યાં તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} \in \{0, 1\}$ છે. દરેક હાર અને દરેક સ્તંભમાં માત્ર એક જ શૂન્યતર ઘટક છે. તો આવા શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

ચાર ભિન્ન રંગના દડા અને દડાના રંગ જેવા જ રંગના ચાર ખોખા છે. દડાને દરેક ખોખામાં એવી રીતે મૂકો કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના જેવા જ રંગના ખોખામાં ન જાય,તો દડા કેટલી રીતે મૂકી શકાય?