यदि $5$ पत्रों को $5$ संबोधित लिफाफों में रखा जाना है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि कम से कम एक पत्र गलत पते वाले लिफाफे में रखा जाए?

$7$ ग्रीटिंग कार्ड हैं, प्रत्येक अलग रंग का है और कार्ड्स के समान ही $7$ रंगों के $7$ लिफाफे हैं। कार्ड्स को लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि ठीक $4$ कार्ड अपने संबंधित रंग के लिफाफों में जाएं:

मान लीजिए कि समुच्चय $S = \{2, 4, 8, 16, \ldots, 512\}$ को $3$ समुच्चयों $A, B, C$ में समान संख्या में अवयवों के साथ विभाजित किया जाता है,ताकि $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = A \cap C = \phi$ हो। $S$ के ऐसे संभावित विभाजनों की संख्या किसके बराबर है?

मान लीजिए $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}}$ और $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}}$. तो:

$52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों के बीच इस प्रकार बांटने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि तीन खिलाड़ियों के पास $17$ पत्ते हों और चौथे खिलाड़ी के पास केवल एक पत्ता हो।

एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ हैं और उनके लिए एक पंक्ति में पाँच सीटें $R_1, R_2, R_3, R_4$ और $R_5$ व्यवस्थित हैं,जहाँ शुरू में सीट $R_i$ छात्र $S_i$ को आवंटित की गई है,$i = 1, 2, 3, 4, 5$। लेकिन,परीक्षा के दिन,पाँच छात्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच सीटें आवंटित की जाती हैं।
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$