જો z_1=x_1+i y_1, z_2=x_2+i y_2, z_3=x_1+frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ અને $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$. $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. ધારો

Vedclass · Accepted Answer

$|z_3|=1, |z_4|=2, \operatorname{Re}(z_3 z_4)=0$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ અને $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$. $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. ધારો કે $z_1 = \cos 	heta + i \sin 	heta$. તેથી $x_1 = \cos 	heta, y_1 = \sin 	heta$. $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ હોવાથી, $x_2 \cos 	heta + y_2 \sin 	heta = 0$ મળે. આ સૂચવે છે કે $(x_2, y_2) = \pm 2(-\sin 	heta, \cos 	heta)$. $x_2 = -2 \sin 	heta$ અને $y_2 = 2 \cos 	heta$ લેતા: $z_3 = x_1 + i \frac{x_2}{2} = \cos 	heta - i \sin 	heta = \bar{z}_1 \implies |z_3|=1$. $z_4 = 2 y_1 + i y_2 = 2 \sin 	heta + i 2 \cos 	heta = 2i(\cos 	heta - i \sin 	heta) = 2i \bar{z}_1 \implies |z_4|=2$. $z_3 z_4 = (\bar{z}_1)(2i \bar{z}_1) = 2i \bar{z}_1^2 = 2i(\cos 2	heta - i \sin 2	heta) = 2 \sin 2	heta + 2i \cos 2	heta$. જોકે, $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ શરત ચકાસતા ($\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ ને બદલે): જો $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ હોય, તો $x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0 \implies x_1 x_2 = y_1 y_2$. $z_1 = e^{i	heta}$, $z_2 = 2e^{i(\pi/2 - 	heta)} = 2i \bar{z}_1 = 2 \sin 	heta + 2i \cos 	heta$ નો ઉપયોગ કરતા. તેથી $z_3 = \cos 	heta + i \sin 	heta = z_1$ અને $z_4 = 2 \sin 	heta + 2i \cos 	heta = 2i \bar{z}_1$. $z_3 z_4 = z_1 (2i \bar{z}_1) = 2i |z_1|^2 = 2i$. આમ, $\operatorname{Re}(z_3 z_4) = 0$ અને $|z_3|=1, |z_4|=2$ થાય છે.

જો $z_1=x_1+i y_1$, $z_2=x_2+i y_2$, $z_3=x_1+\frac{i x_2}{2}$, અને $z_4=2 y_1+i y_2$ એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $|z_1|=1$, $|z_2|=2$, અને $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ થાય, તો:

Similar Questions

જો $(x-iy)^{1/3} = 2-i\sqrt{3}$ અને બિંદુ $z = (x, y)$ એ રેખા $\frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{3}} = k$ પર આવેલું હોય,તો $k =$

જો $a \pm ib$ અને $b \pm ai$ એ $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ ના બીજ હોય,તો $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=$

$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2 i}{3}\right)^n$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\sqrt{-3-4 i}=re^{i \theta}$ હોય,તો $r^2 \tan \theta=$

જો $i=\sqrt{-1}$ હોય,તો $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module