यदि z_1=x_1+i y_1, z_2=x_2+i y_2, z_3=x_1+fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ और $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$. $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. माना

Vedclass · Accepted Answer

$|z_3|=1, |z_4|=2, \operatorname{Re}(z_3 z_4)=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ और $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$. $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. माना $z_1 = \cos 	heta + i \sin 	heta$. तब $x_1 = \cos 	heta, y_1 = \sin 	heta$. चूँकि $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$, हमारे पास $x_2 \cos 	heta + y_2 \sin 	heta = 0$ है। यह इंगित करता है कि $(x_2, y_2) = \pm 2(-\sin 	heta, \cos 	heta)$. $x_2 = -2 \sin 	heta$ और $y_2 = 2 \cos 	heta$ लेने पर: $z_3 = x_1 + i \frac{x_2}{2} = \cos 	heta - i \sin 	heta = \bar{z}_1 \implies |z_3|=1$. $z_4 = 2 y_1 + i y_2 = 2 \sin 	heta + i 2 \cos 	heta = 2i(\cos 	heta - i \sin 	heta) = 2i \bar{z}_1 \implies |z_4|=2$. $z_3 z_4 = (\bar{z}_1)(2i \bar{z}_1) = 2i \bar{z}_1^2 = 2i(\cos 2	heta - i \sin 2	heta) = 2 \sin 2	heta + 2i \cos 2	heta$. हालाँकि, शर्त $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ की जाँच करने पर ($\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ के बजाय): यदि $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$, तो $x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0 \implies x_1 x_2 = y_1 y_2$. $z_1 = e^{i	heta}$, $z_2 = 2e^{i(\pi/2 - 	heta)} = 2i \bar{z}_1 = 2 \sin 	heta + 2i \cos 	heta$ का उपयोग करने पर। तब $z_3 = \cos 	heta + i \sin 	heta = z_1$ और $z_4 = 2 \sin 	heta + 2i \cos 	heta = 2i \bar{z}_1$. $z_3 z_4 = z_1 (2i \bar{z}_1) = 2i |z_1|^2 = 2i$. अतः, $\operatorname{Re}(z_3 z_4) = 0$ और $|z_3|=1, |z_4|=2$ प्राप्त होता है।

यदि $z_1=x_1+i y_1$, $z_2=x_2+i y_2$, $z_3=x_1+\frac{i x_2}{2}$, और $z_4=2 y_1+i y_2$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $|z_1|=1$, $|z_2|=2$, और $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$, तो:

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