यदि a, b, c ऐसी शून्येतर वास्तविक संख्याएँ है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि,$\alpha = \frac{a+ib}{1-c}$.दोनों पक्षों का मापांक वर्ग लेने पर,$|\alpha|^2 = \frac{a^2+b^2}{(1-c)^2} \quad \dots(i)$.दिया गया है $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{|\alpha|^2}{(1+|\alpha|^2)^2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि,$\alpha = \frac{a+ib}{1-c}$.दोनों पक्षों का मापांक वर्ग लेने पर,$|\alpha|^2 = \frac{a^2+b^2}{(1-c)^2} \quad \dots(i)$.दिया गया है $a^2+b^2+c^2=c$,अतः $a^2+b^2 = c-c^2 = c(1-c) \quad \dots(ii)$.$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$|\alpha|^2 = \frac{c(1-c)}{(1-c)^2} = \frac{c}{1-c}$.इससे $1+|\alpha|^2 = 1 + \frac{c}{1-c} = \frac{1-c+c}{1-c} = \frac{1}{1-c}$ प्राप्त होता है।अतः,$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$.$(ii)$ से,$a^2+b^2 = c(1-c) = (1-(1-c))(1-c) = (1-c) - (1-c)^2$.$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$ रखने पर,$a^2+b^2 = \frac{1}{1+|\alpha|^2} - \left(\frac{1}{1+|\alpha|^2}\right)^2 = \frac{1+|\alpha|^2-1}{(1+|\alpha|^2)^2} = \frac{|\alpha|^2}{(1+|\alpha|^2)^2}$.

यदि $a, b, c$ ऐसी शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ $c \neq 1$ और $a^2+b^2+c^2=c$ है,तथा यदि $\alpha=\frac{a+i b}{1-c}$ है,तो $a^2+b^2=$

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