bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z को संतुष्ट करने | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$माना $z = x + iy$. तब $z + \bar{z} =

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$2$

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(B) दिया गया समीकरण: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$माना $z = x + iy$. तब $z + \bar{z} = 2x$.अतः,$2x = (1 + i)(x + iy)^{2} = (1 + i)(x^{2} - y^{2} + 2xyi)$.$2x = (x^{2} - y^{2} - 2xy) + i(x^{2} - y^{2} + 2xy)$.वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:$1) \ 2x = x^{2} - y^{2} - 2xy$$2) \ 0 = x^{2} - y^{2} + 2xy \Rightarrow x^{2} - y^{2} = -2xy$.$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2x = -2xy - 2xy = -4xy$.$2x(1 + 2y) = 0$,अतः $x = 0$ या $y = -1/2$.यदि $x = 0$,तो $(2)$ से,$y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0$. अतः $z = 0$,$|z|^{2} = 0$.यदि $y = -1/2$,तो $(2)$ से,$x^{2} - (-1/2)^{2} = -2x(-1/2)$ $\Rightarrow x^{2} - 1/4 = x$ $\Rightarrow 4x^{2} - 4x - 1 = 0$.हल $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ है।इन मानों के लिए,$|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = x^{2} + 1/4$.$4x^{2} - 4x - 1 = 0$ से,$x^{2} = x + 1/4$.अतः $|z|^{2} = x + 1/4 + 1/4 = x + 1/2$.$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{1}|^{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{2}|^{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.मापांक के वर्गों का योग: $0 + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$.

$\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$ को संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ के मापांक के वर्गों का योग किसके बराबर है?

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$\theta$ के उन सभी मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$ शुद्ध काल्पनिक है।

यदि $z_1 = 2 - 3i$ और समीकरण $z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ के मूल $i$,$z_1$ और $\bar{z}_1$ हैं,तो $b + c + d =$

यदि $(x-iy)^{1/3} = a-ib$ है,तो $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए एक सम्मिश्र संख्या $z$,$|z| \neq 1$,$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$ को संतुष्ट करती है। तो,$|z|$ का अधिकतम मान ............ है।

यदि $z = x + iy$ $(x, y \in R, x \neq -1/2)$ है,तो $|z|^n = z^2|z|^{n-2} + z|z|^{n-2} + 1$ $(n \in N, n > 1)$ को संतुष्ट करने वाले $z$ के मानों की संख्या है

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