theta के उन सभी मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(A) माना $z = \frac{1-i \cos 	heta}{1+2 i \sin 	heta}$.$z$ को शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।अंश और हर को हर के संयुग्म

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$\left\{n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\right\}$

Vedclass · Answer

(A) माना $z = \frac{1-i \cos 	heta}{1+2 i \sin 	heta}$.$z$ को शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।अंश और हर को हर के संयुग्मी $1-2i \sin 	heta$ से गुणा करने पर:$z = \frac{(1-i \cos 	heta)(1-2i \sin 	heta)}{1 + 4 \sin^2 	heta} = \frac{(1 - \sin(2 	heta)) - i(2 \sin 	heta + \cos 	heta)}{1 + 4 \sin^2 	heta}$.वास्तविक भाग को $0$ रखने पर,$1 - \sin(2 	heta) = 0 \Rightarrow \sin(2 	heta) = 1$.अतः,$2 	heta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$,जिससे $	heta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

$\theta$ के उन सभी मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$ शुद्ध काल्पनिक है।

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