यदि alpha, beta समीकरण 1+x+x^2=0 के मूल हैं,त | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं। चूंकि $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के काल्पनिक घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\bet

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$49$

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(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं। चूंकि $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के काल्पनिक घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$,जहाँ $\omega^3 = 1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है। अतः,$\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$ है। साथ ही,$\alpha+\beta = -1$ और $\alpha\beta = 1$ है। हमें व्यंजक $E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha^{10})(2-\alpha^{20})$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $\alpha^3 = 1$ है,इसलिए $\alpha^{10} = (\alpha^3)^3 \cdot \alpha = \alpha$ और $\alpha^{20} = (\alpha^3)^6 \cdot \alpha^2 = \alpha^2$ है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha)(2-\alpha^2)$ प्राप्त होता है। चूंकि $\beta = \alpha^2$ है,इसलिए $E = (2-\alpha)(2-\alpha^2)(2-\alpha)(2-\alpha^2) = [(2-\alpha)(2-\alpha^2)]^2$ है। आंतरिक पद का विस्तार करने पर: $(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2\alpha^2 - 2\alpha + \alpha^3 = 4 - 2(\alpha+\alpha^2) + 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $1+\alpha+\alpha^2=0$ है,इसलिए $\alpha+\alpha^2 = -1$ है। अतः,$(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2(-1) + 1 = 4+2+1 = 7$ है। इसलिए,$E = 7^2 = 49$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $1+x+x^2=0$ के मूल हैं,तो $(2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha^{10})(2-\alpha^{20})=$

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