यदि omega_0, omega_1, ldots, omega_{n-1} इकाई | vedclass

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Question

(D) इकाई के $n$-वें मूल समीकरण $x^n - 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं। अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - \omega_0)(x - \omega_1) \ldots (x - \omega_{n-1}

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$1+(-1)^{n-1} 2^n$

Vedclass · Answer

(D) इकाई के $n$-वें मूल समीकरण $x^n - 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं। अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - \omega_0)(x - \omega_1) \ldots (x - \omega_{n-1})$। गुणनफल $(1+2 \omega_0)(1+2 \omega_1) \ldots (1+2 \omega_{n-1})$ ज्ञात करने के लिए,हम $2^n$ को बाहर निकालते हैं: $2^n (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$। माना $x = -\frac{1}{2}$। तब $x^n - 1 = (-\frac{1}{2})^n - 1 = (-\frac{1}{2} - \omega_0)(-\frac{1}{2} - \omega_1) \ldots (-\frac{1}{2} - \omega_{n-1})$। $(-1)^n$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(-1)^n (x^n - 1) = (\omega_0 + \frac{1}{2})(\omega_1 + \frac{1}{2}) \ldots (\omega_{n-1} + \frac{1}{2})$। $x = -\frac{1}{2}$ रखने पर: $(-1)^n ((-\frac{1}{2})^n - 1) = (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$। दोनों पक्षों को $2^n$ से गुणा करने पर: $2^n (\frac{1}{2} + \omega_0) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1}) = 2^n (-1)^n ((-1)^n \frac{1}{2^n} - 1) = 1 + (-1)^{n-1} 2^n$।

यदि $\omega_0, \omega_1, \ldots, \omega_{n-1}$ इकाई के $n$-वें मूल हैं,तो $(1+2 \omega_0)(1+2 \omega_1)(1+2 \omega_2) \ldots (1+2 \omega_{n-1})=$

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