यदि (1+x)^{15}=a_0+a_1 x+ldots+a_{15} x^{15} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प

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$120$

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(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प्राप्त होता है।हमें $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$।इस मान को योगफल में रखने पर:$\sum_{r=1}^{15} r \left( \frac{16-r}{r} ight) = \sum_{r=1}^{15} (16-r)$।यह एक समांतर श्रेणी है: $(16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।$n=15$ के लिए,योग $\frac{15 	imes 16}{2} = 15 	imes 8 = 120$ है।

यदि $(1+x)^{15}=a_0+a_1 x+\ldots+a_{15} x^{15}$ है,तो $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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