यदि px + qy + r = 0 और x sin alpha + y cos al | vedclass

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Question

(A) रेखाएँ $px + qy + r = 0$,$x \sin \alpha + y \cos \alpha = r$,और $x \cos \alpha - y \sin \alpha = 0$ बिंदु $A$ पर संगामी हैं।संगामी होने की शर्त के

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$p^2 + q^2 = 4$

Vedclass · Answer

(A) रेखाएँ $px + qy + r = 0$,$x \sin \alpha + y \cos \alpha = r$,और $x \cos \alpha - y \sin \alpha = 0$ बिंदु $A$ पर संगामी हैं।संगामी होने की शर्त के अनुसार सारणिक शून्य होगा:$\begin{vmatrix} p & q & r \ \sin \alpha & \cos \alpha & -r \ \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$सारणिक का विस्तार करने पर: $p(0 - r \sin \alpha) - q(0 + r \cos \alpha) + r(-\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$$-pr \sin \alpha - qr \cos \alpha - r = 0$चूंकि $r 
eq 0$,$-r$ से विभाजित करने पर: $p \sin \alpha + q \cos \alpha + 1 = 0 \Rightarrow p \sin \alpha + q \cos \alpha = -1$ (समीकरण $1$).रेखाओं के बीच का कोण $\pi / 3$ है।ढाल $m_1 = -p/q$ और $m_2 = -	an \alpha$ हैं।$	an(\pi / 3) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} ight|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{-p \cos \alpha + q \sin \alpha}{q \cos \alpha + p \sin \alpha} ight|$.समीकरण $1$ का उपयोग करने पर,$q \cos \alpha + p \sin \alpha = -1$.अतः,$| q \sin \alpha - p \cos \alpha | = \sqrt{3}$.दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:$p^2 + q^2 = 1 + 3 = 4$.

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