यदि log (1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया सीमा व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x} \right] = k$ गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उप

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$6$

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(C) दिया गया सीमा व्यंजक: $\lim _{x ightarrow 0} \left[ \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x} ight] = k$ गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर: $\lim _{x ightarrow 0} \left[ \frac{(1+x) \log (1+x) - x}{x^2} ight] = k$ चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$' Hospital नियम लागू करते हैं: $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [(1+x) \log (1+x) - x]}{\frac{d}{dx} [x^2]} = k$ $\lim _{x ightarrow 0} \frac{[1 \cdot \log (1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] - 1}{2x} = k$ $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x) + 1 - 1}{2x} = k$ $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{2x} = k$ $\frac{1}{2} \lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = k$ चूंकि $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1$,इसलिए $k = \frac{1}{2} 	imes 1 = \frac{1}{2}$। अतः,$12k = 12 	imes \frac{1}{2} = 6$।

यदि $\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots \infty$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2}-\frac{1}{x}=k$ है,तो $12 k=$

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यदि $f(a) = 2, f'(a) = 1, g(a) = -1, g'(a) = 2$ है,तो $\lim_{x \to a} \frac{g(x)f(a) - g(a)f(x)}{x - a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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