જો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ સમીકરણોની સંહતિ $2x+3y+z=-1$, $3x+y+z=4$, અને $x-3y-2z=1$ નો ઉકેલ હોય, તો $\beta$ ની કિંમત શોધો:

$\alpha, \beta \in [0, 2\pi]$ અને $\gamma \in [0, \pi)$ માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો:
$2 \sin \alpha - \cos \beta + 3 \tan \gamma = 3$
$4 \sin \alpha + 2 \cos \beta - 2 \tan \gamma = 2$
$6 \sin \alpha - 3 \cos \beta + \tan \gamma = 9$
તો, નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જેના માટે સમીકરણ સંહતિ $2x + 3y + 6z = 8$,$x + 2y + az = 5$,અને $3x + 5y + 9z = b$ ને કોઈ ઉકેલ ન હોય,તેવી $a$ અને $b$ ની કિંમતો શોધો:

ધારો કે $a$ એ $(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો છે અને $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$. જો સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $2bx^2+ax+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $c, d, e \in \mathbb{R}$,તો $d:c:e$ બરાબર શું થાય?

વિધાનસભાની ચૂંટણીમાં,એક રાજકીય જૂથે તેના ઉમેદવારનો પ્રચાર કરવા માટે એક જાહેર સંબંધોની પેઢીને ત્રણ રીતે ભાડે રાખી: ટેલિફોન,ઘરે જઈને મુલાકાત અને પત્રો. પ્રતિ સંપર્ક ખર્ચ (પૈસામાં) શ્રેણિક $A$ માં નીચે મુજબ આપવામાં આવ્યો છે: $A = \begin{bmatrix} 40 \\ 100 \\ 50 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{ટેલિફોન} \\ \text{ઘરે મુલાકાત} \\ \text{પત્ર} \end{matrix}$. બે શહેરો $X$ અને $Y$ માં કરવામાં આવેલા દરેક પ્રકારના સંપર્કોની સંખ્યા $B = \begin{bmatrix} 1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{ટેલિફોન} & \text{ઘરે મુલાકાત} & \text{પત્ર} \\ \to X \\ \to Y \end{matrix}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બંને શહેરો $X$ અને $Y$ માં જૂથ દ્વારા ખર્ચવામાં આવેલી કુલ રકમ શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ એવા છે કે $AX = B$,તો $X =$