यदि $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ समीकरणों के निकाय $2x+3y+z=-1$, $3x+y+z=4$, और $x-3y-2z=1$ का हल है, तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

$4 \, kg$ प्याज,$3 \, kg$ गेहूं और $2 \, kg$ चावल की कीमत $Rs \, 60$ है। $2 \, kg$ प्याज,$4 \, kg$ गेहूं और $6 \, kg$ चावल की कीमत $Rs \, 90$ है। $6 \, kg$ प्याज,$2 \, kg$ गेहूं और $3 \, kg$ चावल की कीमत $Rs \, 70$ है। आव्यूह विधि का उपयोग करके प्रत्येक वस्तु की प्रति $kg$ कीमत ज्ञात कीजिए।

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x - 4y + 7z = g$,$3y - 5z = h$,और $-2x + 5y - 9z = k$ संगत है,तो:

रैखिक समीकरणों के निकाय $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3z + d_3 = 0$ पर विचार करें। मान लीजिए $\Delta (a,b,c)$ सारणिक $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ को दर्शाता है। यदि $\Delta (a,b,c) \neq 0$ है,तो उपरोक्त समीकरणों के अद्वितीय हल में $x$ का मान क्या है?

मान लीजिए $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ यदि $j+1$,$i$ से विभाज्य है तो $a_{ij} = 1$,अन्यथा $a_{ij} = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय है
$(B)$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ का अस्तित्व है ताकि $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ रिक्त नहीं है,जहाँ $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ आव्यूह $(M - 2I)$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है

यदि मान $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ सभी $3$ समीकरणों $x+2y+3z=4$,$3x+y+z=3$ और $x+3y+3z=2$ को संतुष्ट करते हैं,तो $3\alpha+\gamma=$