यदि A, n कोटि का एक शून्येतर वर्ग आव्यूह है ज | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\det(I+A) 
eq 0$, जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।हमें $A^3 = O$ दिया गया है।हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^

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$I-A+A^2$

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(A) दिया गया है कि $\det(I+A) 
eq 0$, जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।हमें $A^3 = O$ दिया गया है।हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।$x = A$ और $y = I$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - A + I)$ प्राप्त होता है।चूंकि $A^3 = O$ और $I^3 = I$, समीकरण $O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$ बन जाता है।यह सरल होकर $I = (A+I)(A^2 - A + I)$ हो जाता है।दोनों पक्षों को $(A+I)^{-1}$ से गुणा करने पर, हमें $(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$ प्राप्त होता है।चूंकि $(A+I)^{-1}(A+I) = I$, इसलिए $(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I) = A^2 - A + I$ है।अतः, $(I+A)^{-1} = I - A + A^2$।

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