यदि left|begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \ x-1 & 2-x & x+4 \ x-3 & x-3 & 3x\end{array}ight| = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है

Vedclass · Accepted Answer

-$1$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = \left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \ x-1 & 2-x & x+4 \ x-3 & x-3 & 3x\end{array}ight| = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है। समीकरण में $x=1$ रखने पर: $f(1) = \left|\begin{array}{ccc}4 & 2 & -2 \ 0 & 1 & 5 \ -2 & -2 & 3\end{array}ight| = a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$. सारणिक की गणना करने पर: $4(3+10) - 2(0+10) - 2(0+2) = 4(13) - 2(10) - 2(2) = 52 - 20 - 4 = 28$. अतः, $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 = 28$ (समीकरण $i$). समीकरण में $x=-1$ रखने पर: $f(-1) = \left|\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -4 \ -2 & 3 & 3 \ -4 & -4 & -3\end{array}ight| = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4$. सारणिक की गणना करने पर: $-2(-9+12) - 0 + (-4)(8+12) = -2(3) - 4(20) = -6 - 80 = -86$. अतः, $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4 = -86$ (समीकरण $ii$). समीकरण $i$ में से समीकरण $ii$ को घटाने पर: $(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) - (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 - (-86) = 114$. $2(a_1+a_3) = 114 \Rightarrow a_1+a_3 = 57$. समीकरण $i$ और समीकरण $ii$ को जोड़ने पर: $(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) + (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 + (-86) = -58$. $2(a_0+a_2+a_4) = -58$. अतः, $(a_1+a_3) + 2(a_0+a_2+a_4) = 57 + (-58) = -1$.

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \\ x-1 & 2-x & x+4 \\ x-3 & x-3 & 3x\end{array}\right|=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है, तो $(a_1+a_3)+2(a_0+a_2+a_4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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