જો $a \neq p, b \neq q, c \neq r$ અને $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$ હોય, તો $\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}$ ની કિંમત શોધો :

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(a)$ જો નિશ્ચાયકની કોઈપણ બે હાર અથવા સ્તંભ સમાન હોય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે.
$(b)$ જો નિશ્ચાયકની અનુરૂપ હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
$(c)$ જો નિશ્ચાયકની કોઈપણ બે હાર (અથવા સ્તંભો) ની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ચિહ્નમાં બદલાય છે.
આમાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

જો $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ અને $x \neq y \neq z$ હોય, તો $1+x y z$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$. જો $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $a \neq b \neq c$, $\Delta_1=\left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & b c \\ 1 & b^2 & c a \\ 1 & c^2 & a b\end{array}\right|$, $\Delta_2=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|$ અને $\frac{\Delta_1}{\Delta_2}=\frac{6}{11}$ હોય, તો $11(a+b+c)=$

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અને વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$