જો $x=a, y=b, z=c$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=4$, $x-y+z=2$, અને $x+2y+2z=1$ નો ઉકેલ હોય, તો $ab+bc+ca=$

સમીકરણો $x-y+2z=4$,$3x+y+4z=6$ અને $x+y+z=1$ ના

વિધાન $-1$: સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં $\alpha$ ની માત્ર એક કિંમત માટે શૂન્યેતર ઉકેલ છે.
વિધાન $-2$: $\alpha$ માં સમીકરણ
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં માત્ર એક ઉકેલ છે.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ
$2x + 7y + \lambda z = 3$
$3x + 2y + 5z = 4$
$x + \mu y + 32z = -1$
ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $(\lambda - \mu)$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો: $ax + by + cz = 2$, $bx + cy + az = 2$, $cx + ay + bz = 2$, જ્યાં $a, b, c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $a + b + c = 0$ થાય. તો, આ સિસ્ટમ

એક ટ્રસ્ટ ફંડ પાસે Rs. $30,000$ છે જે બે અલગ-અલગ પ્રકારના બોન્ડમાં રોકાણ કરવાના છે. પ્રથમ બોન્ડ વાર્ષિક $5 \%$ વ્યાજ આપે છે અને બીજો બોન્ડ વાર્ષિક $7 \%$ વ્યાજ આપે છે. મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે જો ટ્રસ્ટ ફંડને વાર્ષિક કુલ Rs. $1800$ વ્યાજ મેળવવું હોય,તો Rs. $30,000$ ને બે પ્રકારના બોન્ડ વચ્ચે કેવી રીતે વહેંચવા.