यदि f: R setminus {0} rightarrow R इस प्रकार | vedclass

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Question

(C) दिया गया है, $2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$  --- $(i)$ $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $2f\left(\fra

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$2$

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(C) दिया गया है, $2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$  --- $(i)$ $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{4}{x}$  --- (ii) समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x$  --- (iii) समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) को घटाने पर: $(4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) - (f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) = 8x - \frac{4}{x}$ $3f(x) = 8x - \frac{4}{x} = \frac{8x^2 - 4}{x}$ $f(x) = \frac{4(2x^2 - 1)}{3x}$ अब, $S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$ के लिए: $f(-x) = \frac{4(2(-x)^2 - 1)}{3(-x)} = -\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = -f(x)$ $f(x) = f(-x)$ रखने पर, $f(x) = -f(x)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $2f(x) = 0$, अतः $f(x) = 0$. $\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः, $S = \left\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$. $S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

यदि $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $2 f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ और $S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$, तो $S$ में अवयवों की संख्या है

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