यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है जो 1 से बड़ा है | vedclass

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Question

(D) हमें $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$ दिया गया है। अंतर $I_n - I_{n-2}$ पर विचार करें: $I_n - I_{n-2} = \int \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\si

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$\frac{2}{n} \sin n x$

Vedclass · Answer

(D) हमें $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$ दिया गया है। अंतर $I_n - I_{n-2}$ पर विचार करें: $I_n - I_{n-2} = \int \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करते हुए: $\sin nx - \sin(n-2)x = 2 \cos \left( \frac{nx + nx - 2x}{2} \right) \sin \left( \frac{nx - nx + 2x}{2} \right) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I_n - I_{n-2} = \int \frac{2 \cos((n-1)x) \sin x}{\sin x} dx = 2 \int \cos((n-1)x) dx$. समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है: $I_n - I_{n-2} = \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} + C$. $I_{n+1} - I_{n-1}$ ज्ञात करने के लिए, हम $n$ को $n+1$ से प्रतिस्थापित करते हैं: $I_{n+1} - I_{(n+1)-2} = I_{n+1} - I_{n-1} = \frac{2 \sin((n+1-1)x)}{n+1-1} = \frac{2 \sin nx}{n}$. अतः, सही विकल्प $D$ है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है जो $1$ से बड़ा है और $I_{n}=\int \frac{\sin n x}{\sin x} d x$ है, तो $I_{n+1}-I_{n-1}=$

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